已知数列｛an｝满足a1＝1，且an＝3an-1＋2∧n-1，证明｛an＋2∧n｝是等比数列。求数列｛an｝的前n项和Sn 5
1个回答
展开全部
将数列｛an+2^n｝记为｛bn｝
第1问：
则an=bn-2^n
代入得
bn-2^n=3[b(n-1)-2^(n-1)]+2^(n-1)
整理得bn=3b(n-1)
所以｛an+2^n｝是公差为3的等比数列
第2问：
设数列｛bn｝的前n项和为Tn
b1=a1+2^1=3
Tn=(a1+2^1)+(a2+2^2)+……+(an+2^n)
=(a1+a2+……+an)+(2^1+2^2+……+2^n)
=Sn+2*(1-2^n)/(1-2)
Sn=Tn-2*(1-2^n)/(1-2)
=b1*(1-3^n)/(1-3)-2*(2^n-1)
=3*(3^n-1)/2-2^(n+1)+2
=[3^(n+1)-2^(n+2)+1]/2
第1问：
则an=bn-2^n
代入得
bn-2^n=3[b(n-1)-2^(n-1)]+2^(n-1)
整理得bn=3b(n-1)
所以｛an+2^n｝是公差为3的等比数列
第2问：
设数列｛bn｝的前n项和为Tn
b1=a1+2^1=3
Tn=(a1+2^1)+(a2+2^2)+……+(an+2^n)
=(a1+a2+……+an)+(2^1+2^2+……+2^n)
=Sn+2*(1-2^n)/(1-2)
Sn=Tn-2*(1-2^n)/(1-2)
=b1*(1-3^n)/(1-3)-2*(2^n-1)
=3*(3^n-1)/2-2^(n+1)+2
=[3^(n+1)-2^(n+2)+1]/2
本回答由网友推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
