Question

在三棱锥abcd中,ac垂直底面bcd,bd垂直dc,bd=dc,ac=a,角abc=30度,则点c到平面abd的

在三棱锥abcd中,ac垂直底面bcd,bd垂直dc,bd=dc,ac=a,角abc=30度,则点c到平面abd的距li

Answer 1

解：

∵AC⊥平面BCD，BC∈平面BCD，CD∈平面BCD，

∴AC⊥BC，AC⊥CD，AC⊥BD，

∵AC=a，∠ABC=30°，

∴AB=2AC=2a，BC=√3a，

∵BD=DC，BD⊥DC，

∴△BCD为等腰直角三角形，BD=DC=√6/2a，

S△BCD=1/2BD×DC=3/4a²，

∵AC⊥BD，BD⊥CD，AC∈平面ACD，CD∈平面ACD，

∴BD⊥平面ACD，

∵AD∈平面ACD，

∴BD⊥AD，

∴AD=√（AB²-BD²）=√（4a²-3/2a²）=√10/2a，

S△ABD=1/2BD×AD=√15/4a²

设点C到平面ABD的距离为d，

∵V（A-BCD）=V（C-ABD），

∴1/3×S△BCD×AC=1/3×S△ABD×d

d=S△BCD×AC/S△ABD

d=3/4a²×a/（√15/4a²）

d=√15/5a