Question

可逆矩阵行列式都为1，对吗？ 书上说可逆矩阵与E等价，E的行列式为1，那可逆矩阵行列式也为1？

Answer 1

书上说的等价不是指行列式相等，换句话说，就算满足某个等价关系，行列式也不一定相等，题主所指的等价关系是哪一个呢？
如果是指的合同关系，那么正确的说法是正定矩阵与单位阵合同，如果要进一步放宽到可逆矩阵与单位阵合同，那么应当放在复数域上来谈。
个人认为题主的意思是可逆矩阵可由一系列初等矩阵的乘积表示，但需要注意，第一、二类可逆矩阵的行列式都不等于1，所以显然题主的命题是错误的。

Answer 2

等价，行列式未必相等。

追问

那我求行列式时，不能把矩阵初等变换后来求行列式吧？

追答

可以用，但是不是随意用。
例如，某行都乘以常数，这就不可以。
交换任意两行时，也不行（当然加个负号，就可以）。