Question

数学 微分方程的特解形式

数学 微分方程的特解形式特解形式哪个是对的？

Answer 1

答案是A。

根据线性方程的叠加原理，原非齐次线性方程的特解是y''+y=x^2+1的特解与y''+y=sinx的特解之和。

因为0不是特征方程的根，所以y''+y=x^2+1的特解设为ax^2+bx+c。

因为±i是特征方程的单根，所以y''+y=sinx的特解设为x(Acosx+Bsinx)。

所以，原非齐次线性方程的特解设为ax^2+bx+c+x(Acosx+Bsinx)。

简介：

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。

在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

Answer 2

微分方程 y''+y'-2y=e^x的特解可设为：y*=Axe^x;
y*'=Ae^x+Axe^x=A(1+x)e^x；
y*''=Ae^x+A(1+x)e^x=A(2+x)e^x；
将三个式子代入原式得：A(2+x)e^x+A(1+x)e^x-2Axe^x=e^x
故得 A(2+x)+A(1+x)-2Ax=1
3A=1，∴ A=1/3.
即y*=(1/3)xe^x
第2题只需 A(2+x)e^x+A(1+x)e^x-2Axe^x=3e^x
即A(2+x)+A(1+x)-2Ax=3
解得 A=1.