Question

一道高三导数题

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Answer 1

• f'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x² x>0

  驻点x=1 左-右+ 为极小值点

  单调递减区间x∈(0,1) 单调递增区间x∈(1,+∞)

• g(x)=f(x)-f(p)-(x-p)f'(x)=ln(x)+1/x-1/p-lnp-(x-p)(x-1)·x⁻²  x>p>2
  

  g'(x)=1/x-1/x²-(x-1)/x²-(x-p)/x²+2(x-p)(x-1)/x³

  =[x²-x-2x²+(p+1)x+2(x²-(p+1)x+p]/x³

  =[x²-(p+2)x+2p]/x³

  =(x-2)(x-p)/x³ 

  x∈(p,+∞)→g'(x)≥0→g(x)为增函数

  g(x)>g(p)=0

  即f(x)-f(p)-(x-p)f'(x)>0→[f(x)-f(p)]/(x-p)>f'(x)