Question

已知x+3y=2，则3的x次方+27的y次方减1的最小值为

Answer 1

解:令a^2=3^x,b^2=27^y=3^(3y),其中a>0,b>0,那么由均值不等式，a^2+b^2>=2ab,有：3^x+27^y-1>=2(3^x)^(1/2)*[3^(3y)]^(1/2)-1=2[3^(x+3y)]^(1/2)-1=2*3-1=5
所以最小值等于5。
读法：令a的2次方等于3的y次方，b的2次方等于y的27次方等于3的3y次方，其中a大于0，b大于0，那么由均值不等式，a的平方加b的平方大于等于2ab，有：3的x次方加上27的y次方减1大于等于2倍3的x次方的1/2次方乘以3的3y次方的1/2次方减1，等于2倍3的（x+3y）次方的1/2次方减1，等于2乘以3减1等于5。所以最小值为5。

Answer 2

3的x次方+27的y次方减1=3的x次方+3的3y次方减1
x+3y=2等价于a+b=2则3的x次方+3的3y次方等价于3的a次方+3的b次方》=2倍根号下3的a+b次方=2x3=6
所以3的x次方+27的y次方减1的最小值为6——1=5

Answer 3

3
x
+27
y
-1=3
2-3y
+3
3y
-1=3
2
/3
3y
+3
3y
-1
设3
3y
=m,
（m>0）则有：9/m+m-1=(m
2
-m+9)/m
求导得：(m+3)(m-3)/m
2
所以只有在m=3时，可取得最小值5
此时，y=1/3
x=1