Question

设随机变量(x ,y)服从区域D={(x,y)|0<X<1,0<y<x}上的均匀分布,求协方差co

Answer 1

令Z=XY
显然D为边长为1的等腰直角三角形，其面积S=0.5
随机向量(X,Y)服从D上的二维均匀分布，
E(Z)=在D上(xy/S)即2xy的二重积分
cov(X,Y)=E(XY)-EX*EY
=E(Z)-EX*EY
=2
∫
[下限0,
上限1]
x
dx
*
∫[下限0,
上限x]
ydy-∫
[下限0,
上限1]
x
dx*∫
[下限0,
上限1]ydy
=2
∫
[下限0,
上限1]
0.5x^3
dx-1/2*1/2
=
(x^4)/4
[代入上下限1和0]-1/4
=
0?

Answer 2

我在百度文库搜到的定理是：
设(x,y)为二维连续型随机变量，则x与y相互独立的充分必要条件为f(x,y)=fx(x)*fy(y)在一切连续点上。
其中f(x,y)为联合概率密度，fx(x)、fy(y)为边缘概率密度。
********************************************************************************************
解：∵二元随机变量（x，y）在d内服从均匀分布。
不妨设二元随机变量（x，y）的概率密度为ψ(x,y)
=
c
(c为常数)
则分布函数为
f(x,y)
=
∫∫c*dxdy
（积分区域d为0＜x＜1,0＜y＜x）
=
∫【cy|(0→x)】dx
=
∫(cx)dx
=
(cx²/2)|
(0→1)
=
c/2
=
1
（这是分布函数的性质，定积分的值为1）
∴c
=
2
现分别求x、y的边缘概率密度
ψx(x)
=
∫2dy
（积分区域：0＜y＜x）
=
2y
|
(0→x)
=
2x
-
2*0
=
2x
ψy(y)
=
∫2dx
（积分区域：0＜x＜1）
=
2x
|
(0→1)
=
2*1
-
2*0
=
2
∴ψx(x)
*
ψy(y)
=
2x*2
=
4x，
而联合概率密度ψ(x,y)
=
2
当且仅当
x=1/2时，ψx(x)
*
ψy(y)
=
ψ(x,y)
显然，ψx(x)
*
ψy(y)
=
ψ(x,y)
不能保证在d={(x,y)|0
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