设向量a1=(1,4,0,2),a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,a),β=(3,10,b,4)
设向量a1=(1,4,0,2),a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,a),β=(3,10,b,4)(1)当a,b取何值时,β不能由a1,a2,a3线性表示?(...
设向量a1=(1,4,0,2),a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,a),β=(3,10,b,4)
(1)当a,b取何值时,β不能由a1,a2,a3线性表示?
(2)当a,b取何值时,β可由a1,a2,a3线性表示?并求出相应的表达式 展开
(1)当a,b取何值时,β不能由a1,a2,a3线性表示?
(2)当a,b取何值时,β可由a1,a2,a3线性表示?并求出相应的表达式 展开
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这个用初等变换噻
矩阵A=(a1′,a2′,a3′,β′)
初等行变换得:
矩阵第一行:1 ,0 ,2 ,3-2b
矩阵第二行:0 ,1, -1,b
矩阵第三行:0 ,0,a-1,b-2
矩阵第四行:0 ,0, 0 ,b+4
当b≠-4,当b-2≠0,a-1=0时β不能由a1,a2,a3线性表示,
当b≠4,
当a=1,b≠2时β不能由a1,a2,a3线性表示
(2)β可由a1,a2,a3线性表示
则b=-4,a≠-1
矩阵第一行:1 ,0 ,0 ,(11a+1)/(a-1)
矩阵第二行:0 ,1, 0,(2+4a)/(1-a)
矩阵第三行:0 ,0,1,6/(1-a)
矩阵第四行:0 ,0, 0,0
β=(11a+1)a1/(a-1)+(2+4a)*a2/(1-a)
+6*a3/(1-a)
矩阵A=(a1′,a2′,a3′,β′)
初等行变换得:
矩阵第一行:1 ,0 ,2 ,3-2b
矩阵第二行:0 ,1, -1,b
矩阵第三行:0 ,0,a-1,b-2
矩阵第四行:0 ,0, 0 ,b+4
当b≠-4,当b-2≠0,a-1=0时β不能由a1,a2,a3线性表示,
当b≠4,
当a=1,b≠2时β不能由a1,a2,a3线性表示
(2)β可由a1,a2,a3线性表示
则b=-4,a≠-1
矩阵第一行:1 ,0 ,0 ,(11a+1)/(a-1)
矩阵第二行:0 ,1, 0,(2+4a)/(1-a)
矩阵第三行:0 ,0,1,6/(1-a)
矩阵第四行:0 ,0, 0,0
β=(11a+1)a1/(a-1)+(2+4a)*a2/(1-a)
+6*a3/(1-a)
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此题不能用系数行列式来判断
应该用系数矩阵和其增广矩阵的秩
当r(a)+1=r(a增广)时,方程组无解,即β不能由a1,a2,a3线性表出
所以a为任意,b≠2
只有在方程组有解并且其增广矩阵为n阶方阵<=>行列式=0,为充要条件
反之则不一定成立,即方程组无解<≠>行列式≠0,不能用这个来判断
应该用系数矩阵和其增广矩阵的秩
当r(a)+1=r(a增广)时,方程组无解,即β不能由a1,a2,a3线性表出
所以a为任意,b≠2
只有在方程组有解并且其增广矩阵为n阶方阵<=>行列式=0,为充要条件
反之则不一定成立,即方程组无解<≠>行列式≠0,不能用这个来判断
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(1)观察可知β的第一坐标3=1+2,为a1a2的第一坐标相加,a3的第一坐标为0,故若β能被a1a2a3表达,又由第二坐标知a3的系数应为-1,则β的第三第四坐标分别为2,5-a,则β不能由三向量表出有b不等于2或者5-a不等于4,即b不等2或a不等1
(2)同上b=2且a=1
(2)同上b=2且a=1
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设a1x1+a2x2+a3x3+bx4=0,得线性方程组,它的系数行列式是
2
2
0
3
4
7
1
10
0
1
-1
b
2
3
a
4,
按第三行展开行列式,得
-
|2
0
3|
|4
1
10|
|2
a
4|
-|2
2
3
|
|4
7
10|
|2
3
4|
-b|2
2
0|
|4
7
1|
|2
3
a|
=-[2(4-10a)+3(4a-2)]-[-4+8-6]-b[2(7a-3)-2(4a-2)]
=-(8-20a+12a-6)-(-2)-b[14a-6-8a+4]
=-2+8a+2-b(6a-2)
=8a+2b-6ab,
1.当4a+b-3ab≠0时方程组只有平凡解,a1,a2,a3,b线性无关,b不能由a1,a2,a3线性表示
2.左上角的3阶子式
|2
2
0|
|4
7
1|
|0
1
-1|
=-14-2+8=-8≠0,
∴a1,a2,a3线性无关,
∴当4a+b-3ab=0时方程组有非零解,a1,a2,a3,b线性相关,b可由a1,a2,a3线性表示且表示唯一.
3.不可能。
2
2
0
3
4
7
1
10
0
1
-1
b
2
3
a
4,
按第三行展开行列式,得
-
|2
0
3|
|4
1
10|
|2
a
4|
-|2
2
3
|
|4
7
10|
|2
3
4|
-b|2
2
0|
|4
7
1|
|2
3
a|
=-[2(4-10a)+3(4a-2)]-[-4+8-6]-b[2(7a-3)-2(4a-2)]
=-(8-20a+12a-6)-(-2)-b[14a-6-8a+4]
=-2+8a+2-b(6a-2)
=8a+2b-6ab,
1.当4a+b-3ab≠0时方程组只有平凡解,a1,a2,a3,b线性无关,b不能由a1,a2,a3线性表示
2.左上角的3阶子式
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2
0|
|4
7
1|
|0
1
-1|
=-14-2+8=-8≠0,
∴a1,a2,a3线性无关,
∴当4a+b-3ab=0时方程组有非零解,a1,a2,a3,b线性相关,b可由a1,a2,a3线性表示且表示唯一.
3.不可能。
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