Question

在平面直角坐标系中,直线y=-1/2x+b(b>0)分别交x轴y轴于A,B两点,...

在平面直角坐标系中,直线y=-1/2x+b(b>0)分别交x轴y轴于A,B两点,以OA,OB为边做矩形,D是BC的中点 在平面直角坐标系中,直线y=-1/2x+b(b>0)分别交x轴y轴于A,B两点,以OA,OB为边做矩形OACB,D是BC的中点,以M(4,0)N(8,0)为斜边端点做等腰三角形PMN,点P在第一象限,设矩形OABC与三角形重叠的面积为S.(1)求点P的坐标?(2)当b值由小变大时,求S与b的关系?(3)若直线y=-1/2+b(b>0)上存在点使角OQM等于90度,求b的取值范围?（4）在b值的变化过程中,若△PCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的b值

Answer 1

建议边画图边理解:前期准备：由已知可以得到A(2b,0)
,B(0,b)
,C(2b,b)
,D(b,b)
CD=b1.因为△PMN是以M(4,0)N(8,0)为斜边端点做等腰三角形,根据等腰直角三角形的性质,底边的高和底边的中线重合,所以高等于1/2斜边的长,可以得到
P（6,2）2
矩形OABC与三角形重叠部分是四种不同情况,第一：没重合,S=0
（2≥b＞0)第二：重合部分是一个以AM为直角边的等腰直角三角形,S=1/2
×AM^2=1/2(2b-4)^2
(3≥b＞2)第三：重合部分是△PMN
减去以AN为直角边的等腰直角三角形的那部分,S=4-1/2(8-2b)^2
(4＞b＞3)第四：当b≥4时,重合部分是△PMN,S=43,根据圆的性质,直径所对的圆周角是直角,所以点Q必定在以OM为直径的圆上面,所以满足一下式子
(X-2)^2+Y^2=4
【圆心是（2,0）,这个式子初中没学】将直线的解析式代入这个式子
得：5/4X^2-(b+4)X+b^2=0令它有解,也就是判别式△≥0,可以解得
1-
根号5≤b≤1+
根号5
,由于b＞0,所以0＜b≤1+
根号5
4,先要分析哪边是底边,哪边是腰：第一：CD是底边,则点P必定落在CD的垂直平分线上,所以,P的横坐标=3/2
b=6,所以b=4第二：CD=CP
则
b=
根号内【（6-2b)^2+(2-b)^2】解得
b=2或者b=5第三：CD=DP
则
b=
根号内【（6-b)^2+(2-b)^2】
解得
b=8-2根号6
或者
b=8+2根号6