Question

y'+p(x)y=q(x)的通解是什么？

Answer 1

如下：

解：先算对应的齐次方程的解。

y'+P(x)y=0

y'/y=-P(x)

lny=-∫P(x)dx+C

y=ke^(-∫P(x)dx)

下面用常数变易法求解原方程的解。

设k为u(x)

y=u(x)e^(-∫P(x)dx)

y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

代入得：

Q(x)

=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C

y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)

微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。

线性指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。 微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。

微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。