Question

几何证明题求解

请看图片，谢谢各位大神

Answer 1

证明：在AB上截取AG=AF，连接DG，如图所示：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△ADG与△ADF中，
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
A
G
=
A
F
∠
1
=
∠
2
A
D
=
A
D
{AG=AF∠1=∠2AD=AD，
∴△AGD≌△AFD（SAS）
∴∠AGD=∠AFD，DG=DF
又∵∠AED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=360°，∠EDF+∠BAC=180°．
∴∠AED+∠AFD=180°，
又∠4+∠AGD=180°，
∴∠4=∠3，
∴DE=DG，
∴DE=DF

Answer 2

辅助线图

证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.

∴∠DME=∠DNF，∠DME+∠DNF=180°.

∴∠EAF+∠MDN=180°.

∵∠EDF+∠EAF=180°，

∴∠MDN=∠EDF（同角的补角相等）.

∴∠MDE=∠NDF.

∵AD平分∠BAC，

∴DM=DN.

∴△MDE≌△NDF（ASA）.

∴DE=DF.

Answer 3

过点D分别作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∴∠DME=∠DNF＝90°①

又AD平分∠BAC，且AD＝AD（公共边），∴△AMD≌△AND（AAS）,∴DM＝DN②

∵∠EDF+∠EAF＝180，∴∠MED+∠AFD＝360-180＝180,又∠NFD+∠AFD＝180，∴∠MED＝∠NFD③

在△EMD和△FND中，联立①②③可得:△EMD≌△FND（AAS），∴DE＝DF