Question

常系数齐次线性微分方程的解是什么？

Answer 1

常系数齐次线性微分方程的解是：

(1)如果特征根ri为ki重实根，则微分方程有ki个特解：

(2)如果特征根sk=αk+βki为mk重实根，则sk=αk-βki也为mk重实根，则微分方程有2mk个特解：

主要思路：把求解问题转换为求特征方程的问题，然后再代公式即可。这一块把以e为低的指数函数看作方程解的基础，对它进行一系列的变化。

微分算子法：

微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y。

于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)，令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式，F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为y=f(x)/F(D)。