Question

向量组的等价例题_矩阵等价与向量组等价的关系

Answer 1

矩阵等价与向量组等价的关系

矩阵是指排成n行m列的一个数表。在线性代数中矩阵是一个重要而有力的工具，应用于线性代数的始末，与线性代数的每一章节内容都有牵连。

向量是一个数组。如果向量仅有一个分量，它就是通常意义上的数；如果向量的分量有两个或三个，在解析几何中，它表示平面或空间的有向线段。在几何上与线性代数中向量的运算具有相同或相应的法则。向量可以作为特殊的矩阵，也可作为矩阵的一部分。n个m维列向量组成的向量组即可作成一个m×n矩阵。

所以矩阵与向量组之间有着千丝万缕的联系。例如矩阵与其行向量组及列向量组均有相同的秩，方阵可逆的充要条件是其行（列）向量组线性无关等。但是矩阵的等价与向量组的等价却没有任何必然的联系！

矩阵等价的定义：如果矩阵A可以经过有限次初等变换成为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。矩阵等价的两个充要条件：存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ =B；A与B同型，且r(A)=r(B)。

向量组的等价，是指两个向量组能相互线性表示。

矩阵等价与向量组等价有如下关系：

1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价！（《2012考研数学复习大全》理工类338页有说明及具体反例）

2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！（向量组等价，两向量组中所含向量个数可以不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数）

在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？

1.若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为 （α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn），

此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q -1，有A=BQ -1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。

2.同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价。

3.矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！（见《2012考研数学复习大全》理工类312页注）

在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？

1.若向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价！（因向量组A与向量组B等价，则它们有相同的秩，又A与B作成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A与B等价）

2.要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n个向量的两个m维向量组A与B，才有可能讨论其对应的矩阵A与B是否等价。