Question

设三个事件A，B，C两两独立，求证：A，B，C相互独立的充分必要条件为A∪B与C相互独立．

Answer 1

【答案】：证 两两独立．
由分配律与加法公式，以及两两独立得
P((A∪B)C)=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)
=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(ABC)．
由加法公式和两两独立得
P(A∪B)P(C)=[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)
=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)．
按照定义，A∪B与C相互独立，即P((A∪B)C)=P(A∪B)P(C)．由上面两个等式，其充分必要条件为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．