Question

已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值

已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值

Answer 1

我成绩不太好啊
若使f(x)>k/(x+1)恒成立
即(1+ln(x+1))/x>k/(x+1)恒成立
因x+1>1
故即是使(x+1)(1+ln(x+1))/x>k恒成立
令g(x)=(x+1)(1+ln(x+1))/x
显然只要g(x)最小值＞k即可
g′(x)=[x-1-ln(x+1)]/x²
令h(x)=x-1-ln(x+1)
h′(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
故x>0时，h′(x)>0
即h(x)在(0,+∞)上单调递增
故h(x)>h(0)=-1
显然g′(3)=[2-ln4]/9>0
g′(2)=[1-ln3]/4<0
设当x=t时，g′(x)=0
即t-1-ln(t+1)=0
即ln(t+1)=t-1
显然2<t<3
故g(x)在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增
故当x=t时，g(x)有最小值
为g(t)=(t+1)(1+ln(t+1))/t
=(t+1)(1+t-1)/t
=t+1
又2<t<3
故3<g(t)<4
显然k的最大值为3

Answer 2

先利用f'(x)<0知f(x)是减函数

当x>0时，f(x)>k/(x+1)恒成立
当x=1时，k<2(1+ln2)
k是正整数，所以k的最大值不大于3
下面证明当k=3时，f(x)>3/(x+1)恒成立
即当x>0时，(x+1)ln(x+1)+1-2x>0
令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x
则g'(x)=ln(x+1)-1
当x>e-1时，g'(x)>0, （g(x)增）
当0<x<e-1时，g'(x)<0 （g(x)减）
当x=e-1时，g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0
所以当x>0时，g(x)>0恒成立。
所以正整数k的最大值是3

Answer 3

我不是来回答的，因为我的回答被抄袭了
我提交的时候被判为广告，结果去投诉的时候
被人抄袭了答案，粘贴到这里，就是colddloc - 魔法师 四级
你看看吧
http://tieba.baidu.com/f?ct=335675392&tn=baiduPostBrowser&sc=5880908802&z=568810841&pn=0&rn=30&lm=0&word=%B0%D9%B6%C8%D6%AA%B5%C0%CD%B6%CB%DF#5880908802
注意时间
我建议你采纳liu30003000的答案，毕竟这也很好
如果你采纳2，3楼的，就当我没说

Answer 4

你可以参考下liu30003000和iamqinqiang 的答案。