Question

已知在直角坐标系中(o为坐标原点),向量OA=(2,5),向量OB=(3,1),OC=(x,3).若A,B,C可构成三角形,求x的取值

已知在直角坐标系中(o为坐标原点),向量OA=(2,5),向量OB=(3,1),OC=(x,3).（1）若A,B,C可构成三角形,求x的取值
（2）当x=6时，直线OC上存在点M，且向量MA垂直于向量MB，求M的坐标

Answer 1

(1) A,B,C不在同一直线上
所以：向量AB不能与向量AC平行或成180度角
所以: 对于任意实数k,向量AB-k*向量AC≠0
而：向量AB=向量OA-向量OB=(-1,4)
向量AC=向量OA-向量OC=(2-x,2)
显然,当k≠2时,向量AB-k*向量AC≠0恒成立
而当k=2时,向量AB-k*向量AC=(2x-5,0)
所以:2x-5≠0
x≠5/2

(2) 当x=6时，向量OC=(6,3)=3(2,1)
所以：向量OM=k(2,1)=(2k,k)
向量MA=向量OM-向量OA=(2k-2,k-5)
向量MB=向量OM-向量OB=(2k-3,k-1)
而：向量MA*向量MB=0
所以：(2k-2)(2k-3)+(k-5)(k-1)=0
5k^2-16k+11=0
k=11/5,或k=1
所以:M的坐标为(22/5,11/5),或(2,1)