Question

高中数学三角形问题

三角形ABC的三个内角分别为A，B，C，当2cos2分之A＋cos（B＋C）确定最大直时。一，求A的值。第二，若A的对边长为2，求三角形ABC的面积的最大值

Answer 1

1） 2cos2分之A＋cos（B＋C)=2cos(A/2)+cos(180°-A）
=2cos(A/2)-cosA=2cos(A/2)-2cos^2(A/2)+1
=-2(cos(A/2)-1/2)^2+1/2
当cos(A/2)=1/2时上式有最大值
A/2=60° A=120°
2）设A，B，C所对的边分别为a,b,c
由余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2+bc=4
b^2+c^2≥2bc
所以4≥2bc+bc
bc≤4/3
S三角形ABC=bcsinA/2=bcsin120°/2=bc*√3/4≤√3/3
三角形ABC的面积的最大值为√3/3

Answer 2

∵cos(B＋C)=-cosA
cosA=2（cosA）^2-1
∴2cosA/2＋cos(B＋C)=-(2cosA/2)^2＋cosA＋1
令cosA/2=x,x∈(-1,1)
所以方程最大值应为x=1/2时，即cosA/2=1/2
∴A=2π/3
再根据余弦定理得，cosA=b^2＋c^2－a^2/2bc=b^2＋c^2－4/2bc=-1/2
即b^2＋c^2=4-bc
再根据重要不等式b^2＋c^2≥2bc得bc(max)=b^2＋c^2/2=2-bc/2
∴bc(max)=4/3
S(max)=bc(max)sinA/2=√3/3

Answer 3

2cos2分之A＋cos（B＋C）=2cos2分之A＋cos（pai-A）=2cos2分之A-cosA
而cosA=2cos(A/2)*cos（A/2）-1，所以原式=-（cosA/2-1/2)的平方+3/2，取最大值时，cosA/2=1/2，所以A=30度
对（2），cosA=（AB平方+BC平方-4）/2AB*BC,整理一下，（AB-BC)平方+AB*BC-4=0，S=(1/2)*AB*BC*sinA=（1/2)*(4-(AB-BC)平方)*sinA<=0.5*4*(2分之根3)=根3

Answer 4

麻烦用专业点的符号？