Question

设x,y都是正数，且1/x+2/y=3,求2x+y的最小值。（用基本不等式）

设x,y都是正数，且1/x+2/y=3,求2x+y的最小值。（用基本不等式）
详细过程。答案是8/3

Answer 1

1/x+2/y＝3
则(1/x+2/y)/3＝1
2x+y＝(2x+y)(1/x+2/y)/3＝(4＋4x/y+y/x)/3大于等于(4+4)/3＝8/3
当且仅当4x/y＝y/x，即y＝2x时，原式最小值为8/3。

Answer 2

x,y都是正数，则
满足基本不等式运用条件，
a+b>=2√(ab),
所以
3=1/x+2/y>=2√(2/xy)=2√2/√(xy),
则
√(xy)>=2√2/3,

所以
2x+y>=2√(2x*y)
=2√2*√(xy)
>=2√2*2√2/3
=8/3.

Answer 3

3=1/x+2/y>=2根号（2/xy）
-->根号（2xy）>=4/3
-->2x+y>=2根号（2xy）>=8/3