Question

有12个质地外观完全相同的小球，但其中有一重量不同。请问如何用天平3次把其挑出？

关键在于不知那个小球是轻于还是重于其他球，这是难点！

Answer 1

上面两位还说简洁……我昏倒……
看下面：
1 将小球编号
2 4-4 相称（这是第一次）若平 异常球就在另外四个当中 这8各就是标准球 取两个标准球与另外四个中的两个相称（第二次），无论平否，都可以确定在哪两个球中 在用一枚标准球找到（第三次）即可
3 第一次4-4 相称若不平（记住天平方向）说明异常球在这八个球中 另外四个是标准球 在偏重一方留下3个球 移动一球到轻的一方 在轻的一方 移动一球到重的一方（这两次移动得球的号码要记住）同时把轻的一方剩下的3个球换下 换上标准球3个 然后进行第二次4-4 相称
此时 形成 （3重方+1轻方）-（3标+1重方） 余下3轻方和1标球
此时第二次可能有以下三种情况
1）平 那么就在拿下的3个轻方球中找异常球（在三个中取出两个 放在天平两端 因为已经知道异常球是轻了 如果不平就是轻的一个是异常 如果平 剩下的一个是异常）
2）不平（保持原来的重轻方向） 说明一轻一重交换不受影响 一轻一重是标准球 那么3重球中有异常球 且异常球偏重（第三次找法同 1））
3 不平（与原来重轻方向刚好相反）说明交换的两球里面有一个异常 此时随意取一个和标准的一称就出来了！！！！！！！！！！！！

哎 这个题弄了我一个星期 终于出来了~~！
关键就是要在第二次获得很多信息~~~~~！！！！好啦 哈哈 ~~~多看看画画图就可以明白了~~~~~~~

Answer 2

线性代数完全解答:

设A=
(E12, O)
(O,-E12)24
A为24阶的方阵,E12为12阶的单位矩阵,O是零矩阵,-E12就是E12变负;下面同样采用分块表示
把每次比较看成一个方程，那么问题就成了矩阵(X,X)A=(B,-B)的问题了，B为3*12的矩阵，由于(X,X)每一列向量都是互不同的,解矩阵X要满足每一列互相不同,且取反后也不能与其他列相同
得X=BA^(-1)=B,由A的独特性,X与B存在最简单的自反映射关系,事实上B的元素是从3次称量组成的27种状态(3维列向量)取值（共取12个元素）作为列向量
构造X(上面都是理论,唯一的重点在这里):从27个3维列向量中去除(0,0,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)然后分为两组(对应取反)
[ 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];
[ 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1,-1,-1,-1];
[ 1, 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 0, 1,-1].

[ 0, 0, 0, 0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1];
[ 0,-1,-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1, 1, 1, 1];
[-1, 0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1, 0,-1, 1].
X为每一纵列的两列取一列做其元素,使到从较上的一组中取出的第一个元素为1的列有4列,为0的有2列,取法有很多种,对应不同解,我的方法是从左到右轮流上下取一的取
解矩阵X=
[0, 0, 0, 0, 1,-1, 1,-1, 1,-1, 1,-1];
[0, 1,-1,-1, 0, 0, 0,-1, 1, 1,-1, 1];
[1, 0,-1, 1, 0,-1,-1, 0,-1, 0, 1, 1].
注释:矩阵的每一列对应每种可能结果的坏小球序号;每一行为此次称量的摆放方式.相应位置的值代表该小球放的对应边(0为不放,1为A边,2为B边)
得三次称量两边的放法：
左边5，7，9，11 ：右边6，8，10，12；
左边2，9，10，12：右边3，4，8，11；
左边1，4，11，12：右边3，6，7，9 。

看不懂上面就看这里(答案X取1)
编号1-12
然后:
左边5，7，9，11 ：右边6，8，10，12；
左边2，9，10，12：右边3，4，8，11；
左边1，4，11，12：右边3，6，7，9 .
最后:
1:平平斜;2:平斜平;3:平反反(平斜斜);4:平反斜(平斜反);5:斜平平;6:反平反(斜平斜);
7:斜平反;8:反反平(斜斜平);9:斜斜反;10:反斜平(斜反平);
11:斜反斜;12:反斜斜(斜反反)

这才叫简单简洁

Answer 3

这是一个比较难的逻辑推理题。这个题目难就难在不知道不合格的坏球究竟是比合格的好球轻，还是重。要解出这个题目，不仅要熟练地运用各种推理形式，而且还要有一定的机灵劲呢。
用无码天平称乒乓球的重量，每称一次会有几种结果?有三种不同的结果，即左边的重量重于、轻于或者等于右边的重量，为了做到称三次就能把这个不合格的乒乓球找出来，必须把球分成三组(各为四只球)。现在，我们为了解题的方便，把这三组乒乓球分别编号为A组、B组、C组。

首先，选任意的两组球放在天平上称。例如，我们把A、B两组放在天平上称。这就会出现两种情况:

第一种情况，天平两边平衡。那么，不合格的坏球必在c组之中。

其次，从c组中任意取出两个球(例如C1、C2)来，分别放在左右两个盘上，称第二次。这时，又可能出现两种情况:

1·天平两边平衡。这样，坏球必在C3、C4中。这是因为，在12个乒乓球中，只有一个是不合格的坏球。只有C1、C2中有一个是坏球时，天平两边才不平衡。既然天平两边平衡了，可见，C1、C2都是合格的好球。

称第三次的时候，可以从C3、C4中任意取出一个球(例如C3)，同另一个合格的好球(例如C1)分别放在天平的两边，就可以推出结果。这时候可能有两种结果:如果天平两边平衡，那么，坏球必是C4;如果天平两边不平衡，那么，坏球必是C3。

2·天平两边不平衡。这样，坏球必在C1、C2中。这是因为，只有C1、C2中有一个是坏球时，天平两边才不能平衡。这是称第二次。

称第三次的时候，可以从C1、C2中任意取出一个球(例如C1)，同另外一个合格的好球(例如C3)，分别放在天平的两边，就可以推出结果。道理同上。

以上是第一次称之后出现第一种情况的分析。

第二种情况，第一次称过后天平两边不平衡。这说明，c组肯定都是合格的好球，而不合格的坏球必在A组或B组之中。

我们假设:A组(有A1、A2、A3、A4四球)重，B组(有B1、B2、B3、B4四球)轻。这时候，需要将重盘中的A1取出放在一旁，将A2、A3取出放在轻盘中，A4仍留在重盘中。同时，再将轻盘中的B1、B4取出放在一旁，将B2取出放在重盘中，B3仍留在轻盘中，另取一个标准球C1也放在重盘中。经过这样的交换之后，每盘中各有三个球:原来的重盘中，现在放的是A4、B2、C1，原来的轻盘中，现在放的是A2、A3、B3。

这时，可以称第二次了。这次称后可能出现的是三种情况:

1·天平两边平衡。这说明A4B2C1=A2A3B3，亦即说明，这六只是好球，这样，坏球必在盘外的A1或B1或B4之中。已知A盘重于B盘。所以，A1或是好球，或是重于好球;而B1、B4或是好球，或是轻于好球。

这时候，可以把B1、B4各放在天平的一端，称第三次。这时也可能出现三种情况一)如果天平两边平衡，可推知A1是不合格的坏球，这是因为12只球只有一只坏球，既然B1和B4重量相同，可见这两只球是好球，而A1为坏球;(二)B1比B4轻，则B1是坏球;(三)B4比B1轻，则B4是坏球，这是因为B1和B4或是好球，或是轻于好球，所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻，更轻的必是坏球。

2·放着A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放A2、A3、B3的盘子(原来放B组)重。在这种情况下，则坏球必在未经交换的A4或B3之中。这是因为已交换的B2、A2、A3个球并未影响轻重，可见这三只球都是好球。

以上说明A4或B3这其中有一个是坏球。这时候，只需要取A4或B3同标准球C1比较就行了。例如，取A4放在天平的一端，取C1放在天平的另一端。这时称第三次。如果天平两边平衡，那么B3是坏球;如果天平不平，那么A4就是坏球(这时A4重于C1)。

3.放A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放在A2、A3、B3的盘子(原来放B组)轻。在这种情况下，坏球必在刚才交换过的A2、A3、B23球之中。这是因为，如果A2、A3、B2都是好球，那么坏球必在A4或B3之中，如果A4或B3是坏球，那么放A4、B2、C1的盘子一定重于放A2、A3、B3的盘子，现在的情况恰好相反，所以，并不是A2、A3、B2都是好球。

以上说明A2、A3、B2中有一个是坏球。这时候，只需将A2同A3相比，称第三次，即推出哪一个是坏球。把A2和A3各放在天平的一端称第三次，可能出现三种情况：(一)天平两边乎衡，这可推知B2是坏球;(二)A2重于A3，可推知A2是坏球;(三)A3重于A2，可推知A3是坏球。