Question

一道史上最难得函数题！！谁能给出答案？

题目：已知实数a,b,c满足条件a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0,其中m是正数,对于
f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0),求证:
(1)af[m/(m+1)]<0
(2)方程f(x)=0在(0,1)内有解.

Answer 1

这个题挺有意思的。
第一问：
a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
此式两边同乘以m
得到am/(m+2)+bm/(m+1)+c=0
∴bm/(m+1)+c=-am/(m+2)
af[m/(m+1)]
=a{am^2/(m+1)^2+[bm/(m+1)+c]}
=a[am^2/(m+1)^2-am/(m+2)]
=(a^2)(m^2)[1/(m+1)^2-1/m(m+2)]
∵(m+1)^2-m(m+2)=m^2+2m+1-m^2-2m=1>0
∴1/(m+1)^2-1/m(m+2)<0
而(a^2)(m^2)>0
∴af[m/(m+1)]<0

第二问：
a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
两边同时乘以(m+1):
a(m+1)/(m+2)+b+c(m+1)/m=0
b=-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m
af(0)=ac
af(1)=a(a+b+c)=a[a+c-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m]=a^2/(m+2)-ac/m
此时要利用第一问的结论：af[m/(m+1)]<0……①
如果ac>0,即af(0)>0，与①式相乘
得：[af(0)]{af[m/(m+1)]}=(a^2)f(0)f[m/(m+1)]<0
∴f(0)f[m/(m+1)]<0
∴方程f(x)=0在(0,m/(m+1))内有一解
如果ac<=0,那么-ac>=0
∴a^2/(m+2)-ac/m>0，即af(1)>0，与①式相乘
得：=(a^2)f(1)f[m/(m+1)]<0
∴f(1)f[m/(m+1)]<0
∴方程f(x)=0在(m/(m+1),1)内有一解
∵(0,m/(m+1))和(m/(m+1),1)都是区间(0,1)的一部分
∴综上，方程f(x)=0在(0,1)内有解.
结论得证！