Question

已知a,b,c是不全相等的正数,求证:lga+lgb+lgc<lg[(a+b)/2]+lg[(b+c)/2]+lg[(c+a)/2]

Answer 1

都是正数
所以a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
c+a>=2√ca
相乘
(a+b)(b+c)(c+a)>=8√(a^2b^2c^2)
即(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc
要取等号则上面三个式子的等号同时取到
即a=b=c,不符合已知条件
所以等号取不到

8abc<(a+b)(b+c)(c+a)
abc<[(a+b)/2][(b+c)/2][(c+a)/2]
取lg
lga+lgb+lgc<lg[(a+b)/2]+lg[(b+c)/2]+lg[(c+a)/2]

Answer 2

此式等价证明
8abc<(a+b)(b+c)(a+c)
a+b=(a1/2+b1/2)2-2(ab)1/2
后面的1/2是开根号的意思
按照这个思路下去就可以得出结果的