Question

已知函数y=cos^2x+asinx-a^2+2a+5有最大值2，试求实数a的值

Answer 1

令t=sinx，则有|t|<=1,
则y(t)=1-t²+at-a²+2a+5=-(t-a/2)²-3a²/4+2a+6
当|a|<=2时，y的最大值为y(a/2)=-3a²/4+2a+6=2,得：3a²-8a-16=0，(3a+4)(a-4)=0,解得a=-4/3.
当a>2时，y的最大值为y(1)=-a²+3a+5=2,得：a²-3a-3=0,解得：a=(3+√21)/2
当a<-2时，y的最大值为y(-1)=-a²+a+5=2,得：a²-a-3=0,无此范围内的解。
综合得：a=-4/3或(3+√21)/2

Answer 2

y=-(sinx-a/2)^2-3a^2/4+2a+6
讨论：当-1<=a/2<=1即-2<=a<=2时sinx=a/2时ymax=-(3/4)a^2+2a+6=2,a=-4/3
当a/2<-1即a<-2时,f(x)递减，sinx=-1时ymax=-a^2+a+5=2，a=(1±√13)/2与a<-2矛盾。
当a/2>1即a>2时f(x)递增，sinx=1时ymax=-a^2+3a+5=2,a=(3+√21)/2
综上，a=-4/3或a=(3+√21)/2