Question

以v0=20m/s的初速度，从地面竖直向上抛出一质量为m=5kg物体，物体落回地面时的速度大小为v=10m/s

以v0=20m/s的初速度，从地面竖直向上抛出一质量为m=5kg物体，物体落回地面时的速度大小为v=10m/s。如果物体在运动过程中所受阻力的大小不变，且和地面碰后不再反弹 （以地面为重力零势能面，g=10m/s2），求：
（1）物体运动过程中所受阻力的大小；
（2）物体在离地面多高处，物体的动能与重力势能相等。

Answer 1

已知：V0＝20 m/s，m＝5千克，V＝10 m/s
求：（1）f ；（2）h上，h下
解：（1）设阻力大小是 f ，上升时的最大高度是 H，则由动能定理　得
在上升阶段：－（mg＋f）H＝0－（m* V0^2 / 2）－－－－方程1
在下降阶段：（mg－f）H＝（m* V^2 / 2）－0　　－－－－方程2
以上二式相除，得
（mg－f）/（mg＋f）＝( V / V0 )^2
得　f＝mg*（V0^2－V^2）/（V0^2＋V^2）＝5*10*（20^2－10^2）/（20^2＋10^2）＝30 牛
　　（2）将第1问求得的 f ＝30牛　代入方程1　得上升的最大高度是
H＝m* V0^2 / [ 2*（mg＋f）]＝5* 20^2 / [ 2*（5*10＋30）]＝12.5 米

　　第2问要分上升阶段与下落阶段分别来讨论。
在上升阶段：设物体在离地面为 h上 高处时，物体的动能与重力势能相等，此时物体速度是 V1。
则 －（mg＋f）*h上＝（m* V1^2 / 2）－（m* V0^2 / 2）
且　　（m* V1^2 / 2）＝mg* h上

得　　 －（mg＋f）*h上＝mg* h上－（m* V0^2 / 2）
那么　h上＝（m* V0^2 / 2）/（2*mg＋f）＝m* V0^2 / [ 2 *（2*mg＋f）]
即　 h上＝5* 20^2 / [ 2*（2*5*10＋30）]＝100 / 13＝7.692 米
在下落阶段：设物体在离地面为　h下　高处时，物体的动能与重力势能相等，此时物体的速度是V2　。
则　（mg－f）*（H－h下）＝（m* V2^2 / 2）－0　　　　（下落距离是　H－h下）
且　　（m* V2^2 / 2）＝mg* h下
得　（mg－f）*（H－h下）＝mg* h下
那么　h下＝（mg－f）*H /（2*mg－f）
即　h下＝（5*10－30）* 12.5 /（2*5*10－30）＝25 / 7＝3.571 米

可见，在上升阶段，是离地面 7.692米处时，动能与重力势能相等。
在下落阶段，是离地面3.571米处时，动能与重力势能相等。

Answer 2

(1)空气阻力做功W1
W1=0.5mv^2-0.5mv0^2=-750j
上升过程空气阻力做功W2=0.5W1=-375J
-mgh+w2=0-0.5mv0^2 h=12.5m
fh=375 f=30N
(2)由能量守恒得
0.5mv0^2=mgh1+fh1+0.5mv^2 物体的动能与重力势能相等

h1=7.7m