Question

线性代数：A为n阶非0矩阵，为什么A^3=0，则A的特征值全是0？

有没有可能A的特征值中一部分为0？

Answer 1

具体回答如下：

根据题意，设a≠0为A的属于特征值λ的特征向量

则Aa=λa

那么A^3a=λ^3a=0，a≠0

所以λ=0

求特征值：

描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0 [1]  。

函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。

Answer 2

因为A^3=O 所以A^3是一个0矩阵，即所有元素都为0，所有的特征值也是0， A的特征值是A^3特征值的开三次方根。则A的所有特征值也是0

Answer 3

设a≠0为A的属于特征值λ的特征向量 则Aa=λa
那么A^3a=λ^3a=0，a≠0，所以λ=0

Answer 4

A^3=0，意味着A^n=0（n≥3）
并且Aa=λa→A^na=λ^na
所以λ全为0