Question

问题描述 关于三角板问题 已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90

问题描述

关于三角板问题

已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠COD=30°）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图地位
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是60°
如图2，若要OB恰恰平分∠COD，则∠AOC的度数是75°
（2）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB外部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，假如三角板OCD在∠AOB内绕点O恣意转动，∠MON的度数能否发作变化？假如不变，求其值；假如变化，阐明理由．
（3）当三角板OCD从图1的地位开端，绕点O逆时针方向旋转一周，坚持射线OM平分∠AOC、射线ON平分∠BOD（∠AOC≤180°，∠BOD≤180°），在旋转进程中，（2）中的结论能否坚持不变？假如坚持不变，请阐明理由；假如变化，请阐明变化的状况和后果（即旋转角度a在什么范围内时∠MON的度数是多少）

Answer 1

利用三角板角的特征和角平分线的定义解答：（1）由图可得角之间的关系：∠BOD=90°-∠COD，∠AOC=90°- 12∠COD，据此解答；（2）由图可得角之间的关系：∠MON= 12（∠AOB-∠COD）+∠COD；（3）可分以下情况考虑：①当0°＜α＜180°时；②α=180°时，两种情况：点M在OB上和点M在BO上；③180°＜α＜240°时；④240°＜α＜360°时．解：（1）∠BOD=90°-∠COD=90°-30°=60°，∠AOC=90°-12∠COD=90°-12×30°=75°．（2）不变，60°．根据图中所示∠MON=12（∠AOB-∠COD）+∠COD=12（90°-30°）+30°=60度．（3）①当0°＜α＜180°时，∠MON=12（90°+∠BOC）+12（30°+∠BOC）-∠BOC=60°②α=180°时，即∠AOC为平角，（1）点M在OB上，∴∠MOD=∠BOC+∠COD=90°+30°=120°，又∵ON平分∠BOD，∴∠MON=120×12=60度．（2）点M在BO上，∠MON=180°-60°=120度．故∠MON=60°或120°③180°＜α＜240°时，2（30°+∠MOD）+90°+∠CON+（∠CON+30°）=360°，解得：∠MOD+∠CON=90°，则∠MON=90°+30°=120°④240°＜α＜360°时，∠MON=12（30°-∠AOD）+12（90°-∠AOD）+∠AOD=60度