Question

如图，直角三角形ABC，角C=90度，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，AN=MC，AM与

如图，直角三角形ABC，角C=90度，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，AN=MC，AM与BN相交与点P，求证角BPM=45度。（用平行四边形做，别用相似三角形，辅助线已作，过B做BC的垂线BD，垂足为b使BD=MC，连接DM，AD）

Answer 1

过M作AC的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。
连结NQ。QM与BN交于S。
容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,
又AQ:QN=QM:QB,
∴△QAM∽△QNB,
∴∠AMQ=NBQ,
又∠PSM=∠QSB,
∴根据三角形内角和等于180，得
∠MPS=∠BQS，
∵∠BQS=45,
∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°，
即∠BPM=45°。
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(*^__^*) 嘻嘻……
我在沙漠中喝着可口可乐，唱着卡拉ok，骑着狮子赶着蚂蚁，手中拿着键盘为你答题！！！

追问

说了不要用相似做啊，我这种辅助线的做法有吗，我们老师讲了这种方法，没听懂，求助啊！

追答

解法一：

如图设出长度

则tanAMC=y/x

tanBNC=(x+y)/(y-x)

所以tan(AMC+BNC)

=[y/x+(x+y)/(y-x)]/[1-y/x*(x+y)/(y-x)]

=-1

所以角AMC+角BNC=135度

所以角MPN=360-90-135=135

即有角BPM=45度

解法二

过M作AC的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。
连结NQ。QM与BN交于S。
容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,
又AQ:QN=QM:QB,
∴△QAM∽△QNB,
∴∠AMQ=NBQ,
又∠PSM=∠QSB,
∴根据三角形内角和等于180，得
∠MPS=∠BQS，
∵∠BQS=45,
∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°，
即∠BPM=45°。

解法三：

过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC

∴ME⊥BC

在△BEM和△AMC中，

ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC

∴△BEM≌△AMC

∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900

∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE

∴△BEN是等腰直角三角形

∴∠BNE＝450

∵AM∥NE

∴∠BPM＝∠BNE ＝450

晕死，题目而已，只要能做出来就是好办法

请好评～

追问

我擦，我们老师要检查的啊，非要用那种方法做，急求啊。。！！

追答

第三种方法就是你要的方法

请好评