Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60° （Ⅱ）若AB=C

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°
（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=
6
，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．

Answer 1

（I）过A1作A1D⊥AB交AB于D，连接CD

因AB=AA1，∠BAA1=60°

易知⊿ABA1为正三角形

则AA1=BA1

所以A1D为AB边的中线，即D为AB中点（三线合一）

又CA=CB，表明⊿ACB为等腰三角形

则CD为AB边上的高，即CD⊥AB（三线合一）

 

因AB⊥A1D，且AB⊥CD

而A1D交CD于平面A1CD

则AB⊥平面A1CD

而A1C⊂平面A1CD

所以AB⊥A1C

 

（I）连接BC1、CB1交于O，连接A1O

过A1作A1H⊥CB1交CB1于H

因CA=CB=AB=AA1（即三棱柱所有棱长相等）

易知四边形BB1C1C为菱形

则BC1⊥CB1

 

又⊿ABA1为正三角形

则A1B=AB=A1C1

由此知⊿BA1C1为等腰三角形

易知BC1⊥A1O（三线合一）

 

又CB1交A1O于平面A1CB1

则BC1⊥平面A1CB1

而A1H⊂平面A1CB1

则A1H⊥BC1

 

又A1H⊥CB1

而BC1交CB1于平面BB1C1C

则A1H⊥平面BB1C1C

由此表明∠A1CH即为A1C与平面BB1C1C所成角的平面角

 

因平面ABC⊥平面AA1B1B

且A1D⊥AB

且A1D⊂平面AA1B1B

且AB为平面ABC与平面AA1B1B的交线

则A1D⊥平面ABC

而CD⊂平面ABC

则A1D⊥CD

表明⊿A1DC为RT⊿

又易知⊿ABA1、⊿ABC均为边长相等的全等正三角形

且D为AB的中点

则A1D=CD

表明RT⊿A1DC为等腰直角三角形

在RT⊿A1DC中，易知A1D=CD=√3

则A1C=√6

 

由（I）知AB⊥A1C

而A1B1//AB

则A1B1⊥A1C

表明⊿A1CB1为RT⊿

由勾股定理知CB1=√10

又A1H⊥CB1

则易知RT⊿A1CB1∽RT⊿A1HB1

于是A1H=A1C*A1B1/CB1=2√15/5

 

在RT⊿A1CH中

由三角函数定义知sin∠A1CH=A1H/A1C=√10/5