Question

污水处理的数学建模

沿某江上游到下游有三个工厂A、B、C，它们排出的污水经各自的污水处理站处理后经排污囗流入江中，工厂A上游江水的流量假设为1000*1012 l/min，。
国家标准规定的水的污染浓度不能超过1 mg/l；2007年三个工厂的污水流量均为5*1012 l/min，污水浓度分别为110、70、60 mg/l；。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差及污水流量成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）均为1万元/(1012 l/min* mg/l)。处理后的污水与江水混合，流到下一个排污囗之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），三个工厂之间的两段江面的自净系数(从上游到下游)分别为0.9、0.6。

试确定2007年各污水处理站出囗的污水浓度，使江面上所有地段的水污染达到国家标准规定的条件下，最少要多少处理费用。近几年污水浓度如下表

年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
污水浓度
mg/l 0.5 0.52 0.52 0.55 0.57 0.61 0.99 0.63 0.66 0.69 0.71 0.75 0.78

Answer 1

问题1.假设该工厂利用的是类似于沉淀法的处理，即污物处理按二项分布沉淀。有得到处理率为P=10％/小时，剩余率H=1－P=90%
一天有24小时，则留下（90％）^24的污物＝7.98％
设T时间长度剩余一半，有H^T=50％，推出T＝6.5788小时
问题2.设其容量为V，为保持池中容量的平衡，流入量始终要等于流出量，即每小时流出的处理水和提取物共100KG
设容器中有水含污物V2，水V1，处理完污物V3（V3+V2+V1=V）,这次排除的量分别为处理完污物V3，水含污物(100-V3)/(V2/(V1+V2)),水(100-V3)/(V1/(V1+V2))，其中V3=(V3＋V2)*10%
每小时流入100KG的污水，增加量中dV1＝100×0.4，dV2＝100×0.6，由于沉淀概率按二项分布，设原容器中有水含污物Q2，水Q1，处理完污物Q3,所以一小时后，V3=Q2*0.1+dV2*0.1,V2=Q2*0.9+dV2*0.9,V1=V-V3-V2
N小时后V2=Q2*0.9^N+dV2*(0.9^(N-1)+0.9^(N-2)……＋0.9^1)
化简后V2=Q2*0.9^N+dV2*((0.9(1-0.9^(N-1)))/(1-0.9))
数据分析：取lim(N趋于无穷)V2=dV2*9=100*0.6*9=540KG