Question

在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n为何值时，Sn有最大值，并求出最大值。

帮忙解一下，谢谢

Answer 1

解：
在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15
求前n项和Sn
因为an是等差数列，所以S10=(a1+a10)*10/2=(2a1+9d)*5=10a1+45d
S15=(a1+a15)*15/2=(2a1+14d)*15/2=15a1+105d
因为S10=S15
所以10a1+45d=15a1+105d
60d=-5a1
d=-a1/12
因为a1=20，所以d=-5/3
an=20-5(n-1)/3=65/3-5n/3
Sn=(20+65/3-5n/3)*n/2=125n/6-5n²/6
当n为何值时,Sn有最大值?并求出它的最大值
解：
Sn=125n/6-5n²/6
=-5/6*(n²-25n)
=-5/6*(n²-25n+625/4)+3125/24
=-5/6*(n-25/2)²+3125/24
显然n=25/2时，Sn最大，但是n是整数，所以比较当n=12，和n=13时，Sn的大小
当n=12时，Sn=125*12/6-5*12²/6=130
当n=13时,Sn=125*13/6-5*13²/6=130
所以当n取12，或者13的时候，Sn有最大值，最大值为130

Answer 2

解：设sn=dn^2/2+(20-d/2)n其对称轴是n=1/2-20/d,因为s10=s15,所以对称轴是（10+15)/2=25/2,所以1/2-20/d=25/2解得d=-5/3,所以sn=-5n^2/6+125n/6开口向下对称轴是n=25/2,又n为正整数，所以当n=12或13时，sn最大，最大值是130