Question

已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3 a 6 =55，a 2 +a 7 =16（1）求数列{a n }的通项公

已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3 a 6 =55，a 2 +a 7 =16（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n = b 1 2 + b 2 2 2 + b 3 2 3 +…+ b n 2 n （n∈N * ），求数列{b n }的前n项和S n ．

Answer 1

（1）设等差数列{a n }的公差为d， 则依题意可知d＞0由a 2 +a 7 =16， 得2a 1 +7d=16① 由a 3 a 6 =55，得（a 1 +2d）（a 1 +5d）=55② 由①②联立方程求得 得d=2，a 1 =1或d=-2，a 1 = 20 7 （排除） ∴a n =1+（n-1）?2=2n-1 （2）令c n = b n 2 n ，则有a n =c 1 +c 2 +…+c n a n+1 =c 1 +c 2 +…+c n+1 两式相减得 a n+1 -a n =c n+1 ，由（1）得a 1 =1，a n+1 -a n =2 ∴c n+1 =2，即c n =2（n≥2）， 即当n≥2时， b n =2 n+1 ，又当n=1时，b 1 =2a 1 =2 ∴b n = 2，(n=1) 2 n+1 ，(n≥2) 于是S n =b 1 +b 2 +b 3 +…+b n =2+2 3 +2 4 +…2 n+1 =2 n+2 -6，n≥2， S n = 2n=1 2 n+2 -6n≥2 ．