Question

已知关于x的方程kx 2 +（3k+1）x+3=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）若二次函数y

已知关于x的方程kx 2 +（3k+1）x+3=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）若二次函数y=kx 2 +（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

Answer 1

（1）证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根， ②当k≠0时，△=（3k+1） 2 -4k?3， =9k 2 +6k+1-12k， =9k 2 -6k+1， =（3k-1） 2 ≥0， 所以，方程有实数根， 综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根； （2）令y=0，则kx 2 +（3k+1）x+3=0， 解关于x的一元二次方程，得x 1 =-3，x 2 = - 1 k ， ∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数， ∴k=1； （3）由（2）得抛物线的解析式为y=x 2 +4x+3， 配方得y=（x+2） 2 -1， ∴抛物线的顶点M（-2，-1）， ∴直线OD的解析式为y= 1 2 x， 于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h， 1 2 h）， ∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h） 2 + 1 2 h， ①当抛物线经过点C时，令x=0，则y=9， ∴C（0，9）， ∴h 2 + 1 2 h=9， 解得h= -1± 145 4 ， ∴当 -1- 145 4 ≤h＜ -1+ 145 4 时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点； ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时， 由方程组 y =(x-h) 2 + 1 2 h y=-2x+9 ， 消掉y得，x 2 +（-2h+2）x+h 2 + 1 2 h-9=0， ∴△=（-2h+2） 2 -4（h 2 + 1 2 h-9）=0， 解得h=4， 此时抛物线y=（x-4） 2 +2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意， 综上所述：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或 -1- 145 4 ≤h＜ -1+ 145 4 ．