Question

设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在[a，b]上有两个不同的零

设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为f（x）与g（x）的“关联区间”．若f（x）=13x3-x2-x与g（x）=2x+b的“关联区间”是[-3，0]，则b的取值范围是（　　）A．[-9，0]B．[0，53]C．[0，53）D．[-9，53）

Answer 1

∵f（x）=

1

3

x³-x²-x与g（x）=2x+b，
∴设y=m（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x³-x²-x-2x-b=

1

3

x³-x²-3x-b，
则m′（x）=x²-2x-3，
由m′（x）=x²-2x-3=0，解得m=-1或m=3，
∵f（x）与g（x）在[-3，0]上是“关联函数”，
∴当x=-1是函数m（x）在[-3，0]上的极大值，同时也是最大值，
要使m（x）=f（x）-g（x）在[-3，0]上有两个不同的零点，
则

m(0)≤0 m(?1)＞0 m(?3)≤0

．即

?b≤0 5 3 ?b＞0 ?9?b≤0

，
则

b≥0 b＜ 5 3 b≥?9

，解得0≤b＜

5

3

，
故b的取值范围是[0，

5

3

），
故选：C