Question

如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BA＝AF，BF与AD交于E．（1）求证：AE=BE；（2）若A，F把半圆三等

如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BA＝AF，BF与AD交于E．（1）求证：AE=BE；（2）若A，F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．





Answer 1

（1）连AC，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACB，
又∵

BA

＝

AF

，
∴∠ACB=∠ABF，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；

（2）∵A，F把半圆三等分，
∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=12，所以AB=

1

2

BC=6，
在Rt△ABD中，AB=6，所以BD=

1

2

AB=3，
Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，
∴DE=

BD

3

=

3

3

=

3

，
∴BE=2

3

，
所以AE=2

3

．