如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点．连结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：∠DCP=
如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点．连结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2．且P...
如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点．连结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2．且PA⊥BF．①求证：PA=12PB； ②求对角线BD的长．
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（1）证明：在菱形ABCD中，AD=CD，∠BDC=∠BDA，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴∠DCP=∠DAP；
（2）证明：①∵AB∥CD，
∴△CDP∽△FBP，
∴
=
=
=
，
∴CP=
PF，CD=
BF，DP=
PB，
∵△APD≌△CPD，
∴CP=AP，
∴PA=
PF，
∵AB=CD，
∴AB=AF，
∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
∴PA=
PB；
②解：∵PA=
PB，
∴∠F=30°，
∴PB=PF=2÷
=
，
∴DP=
PB=
×
在△APD和△CPD中，
|
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴∠DCP=∠DAP；
（2）证明：①∵AB∥CD，
∴△CDP∽△FBP，
∴
| CD |
| BF |
| CP |
| PF |
| DP |
| PB |
| 1 |
| 2 |
∴CP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵△APD≌△CPD，
∴CP=AP，
∴PA=
| 1 |
| 2 |
∵AB=CD，
∴AB=AF，
∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
∴PA=
| 1 |
| 2 |
②解：∵PA=
| 1 |
| 2 |
∴∠F=30°，
∴PB=PF=2÷
| ||
| 2 |
4
| ||
| 3 |
∴DP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
4
|
