如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,且平分∠BAD,AD⊥CD,垂足为D,交⊙O于点E(1)求证:CD是⊙O的切线

如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,且平分∠BAD,AD⊥CD,垂足为D,交⊙O于点E(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若CD=2,AD=23,求⊙O的半径;(3)在... 如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,且平分∠BAD,AD⊥CD,垂足为D,交⊙O于点E(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若CD=2,AD=23,求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下,求图中阴影部分的面积. 展开
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偷星3262
2014-12-14 · TA获得超过106个赞
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解答:(1)证明:连接OC.
∵OA=OC(⊙O的半径),
∴∠OCA=∠OAC(等边对等角);
又∵AC平分∠BAD,
∴∠OAC=∠CAD,
∴∠ACO=∠CAD(等量代换),
∴OC∥AD(内错角相等,两直线平行);
而AD⊥CD,
∴OC⊥CD,即CD是⊙O的切线;

(2)解:∵AD⊥CD,
∴在Rt△ADC中,
AC=
22+(2
3
)
2
=4,
连接BC,则∠ACB=90°
∵∠DAC=∠OAC
∴△ADC∽△ACB
AD
AC
AC
AB

∴AB=
AC2
AD
=
42
2
3
=
8
3
3

∴OB=
1
2
AB=
1
2
×
8
3
3
=
4
3
3

所以⊙O的半径为
4
3
3


(3)解:连接OE、OC,
则△OAE为等边三角形,
∴∠AOE=∠AEO=∠COE=60°,
∴扇形AOE的面积=扇形OCE的面积,
∴△AOE和梯形OCDE的高为:
4
3
3
?sin60°=
4
3
3
×
3
2
=2,
∴DE=AD-AE=2
3
-
4
3
3
=
2
3
3

所以图中阴影部分的面积=(扇形AOE的面积-△AOE的面积)+(梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积)
=扇形AOE的面积-△AOE的面积+梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积
=梯形OCDE的面积-△AOE的面积
=
1
2
×(
4
3
3
+
2
3
3
)×2-
1
2
×
4
3
3
×2=
2
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