如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,且平分∠BAD,AD⊥CD,垂足为D,交⊙O于点E(1)求证:CD是⊙O的切线
如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,且平分∠BAD,AD⊥CD,垂足为D,交⊙O于点E(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若CD=2,AD=23,求⊙O的半径;(3)在...
如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,且平分∠BAD,AD⊥CD,垂足为D,交⊙O于点E(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若CD=2,AD=23,求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下,求图中阴影部分的面积.
展开
1个回答
展开全部
解答:(1)证明:连接OC.
∵OA=OC(⊙O的半径),
∴∠OCA=∠OAC(等边对等角);
又∵AC平分∠BAD,
∴∠OAC=∠CAD,
∴∠ACO=∠CAD(等量代换),
∴OC∥AD(内错角相等,两直线平行);
而AD⊥CD,
∴OC⊥CD,即CD是⊙O的切线;
(2)解:∵AD⊥CD,
∴在Rt△ADC中,
AC=
=4,
连接BC,则∠ACB=90°
∵∠DAC=∠OAC
∴△ADC∽△ACB
∴
=
∴AB=
=
=
,
∴OB=
AB=
×
=
,
所以⊙O的半径为
.
(3)解:连接OE、OC,
则△OAE为等边三角形,
∴∠AOE=∠AEO=∠COE=60°,
∴扇形AOE的面积=扇形OCE的面积,
∴△AOE和梯形OCDE的高为:
?sin60°=
×
=2,
∴DE=AD-AE=2
-
=
,
所以图中阴影部分的面积=(扇形AOE的面积-△AOE的面积)+(梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积)
=扇形AOE的面积-△AOE的面积+梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积
=梯形OCDE的面积-△AOE的面积
=
×(
+
)×2-
×
×2=
∵OA=OC(⊙O的半径),
∴∠OCA=∠OAC(等边对等角);
又∵AC平分∠BAD,
∴∠OAC=∠CAD,
∴∠ACO=∠CAD(等量代换),
∴OC∥AD(内错角相等,两直线平行);
而AD⊥CD,
∴OC⊥CD,即CD是⊙O的切线;
(2)解:∵AD⊥CD,
∴在Rt△ADC中,
AC=
22+(2
|
连接BC,则∠ACB=90°
∵∠DAC=∠OAC
∴△ADC∽△ACB
∴
AD |
AC |
AC |
AB |
∴AB=
AC2 |
AD |
42 | ||
2
|
8
| ||
3 |
∴OB=
1 |
2 |
1 |
2 |
8
| ||
3 |
4
| ||
3 |
所以⊙O的半径为
4
| ||
3 |
(3)解:连接OE、OC,
则△OAE为等边三角形,
∴∠AOE=∠AEO=∠COE=60°,
∴扇形AOE的面积=扇形OCE的面积,
∴△AOE和梯形OCDE的高为:
4
| ||
3 |
4
| ||
3 |
| ||
2 |
∴DE=AD-AE=2
3 |
4
| ||
3 |
2
| ||
3 |
所以图中阴影部分的面积=(扇形AOE的面积-△AOE的面积)+(梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积)
=扇形AOE的面积-△AOE的面积+梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积
=梯形OCDE的面积-△AOE的面积
=
1 |
2 |
4
| ||
3 |
2
| ||
3 |
1 |
2 |
4
| ||
3 |
2
|