Question

如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠BAD=∠CAE．（1）AE是⊙O的直径吗？说明理由．（2）

如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠BAD=∠CAE．（1）AE是⊙O的直径吗？说明理由．（2）若AC=15，AB=20，AD=12，求AE的长．（3）在（2）的条件下，点F是AB上的一个动点，请探究点F到四边形ABEC两条对角线的距离之和是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个距离之和的值．

Answer 1

解答：解：（1）AE是⊙O的直径．理由如下：
连结EC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BDA=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠ABC=∠AEC，∠BAD=∠CAE，
∴∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）∵∠ABD=∠AEC，∠BDA=∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，即

20

AE

=

12

15

，
∴AE=25；
（3）点F到四边形ABEC两条对角线的距离之和不变化．
在Rt△ABD中，BD=

AB2?AD2

=

202?122

=16，
在Rt△ADC中，CD=

AC2?AD2

=

152?122

=9，
∴BC=BD+CD=25，
∴BC为⊙O的直径，
∴四边形ABEC为矩形，
∴点F为等腰三角形OAB底边上一点，
∴FH+FM=AD=12．