Question

已知函数f（x）=|x-1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab

已知函数f（x）=|x-1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（ba）．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=

?2x?2， x＜?3 4， ?3≤x≤1  2x+2， x＞1

，
当x＜-3时，由-2x-2≥8，解得x≤-5；
当-3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；
当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
所以，不等式f（x）≤4的解集为{x|x≤-5，或x≥3}．
（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（

b

a

），即|ab-1|＞|a-b|．
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab-1|²-|a-b|²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
所以|ab-1|＞|a-b|，故所证不等式成立．