Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30度．（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30度．（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长．

Answer 1

解：（1）方法一：∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°， ∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°， ∵PA、PB是⊙O的切线，  ∴OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠OAP=∠OBP=90°，  ∴在四边形OAPB中， ∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．   方法二： ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴PA=PB，OA⊥PA；  ∵∠OAB=30°，OA⊥PA，  ∴∠BAP=90°﹣30°=60°，  ∴△ABP是等边三角形， ∴∠APB=60°．   （2）方法一：如图①，连接OP；  ∵PA、PB是⊙O的切线，  ∴PO平分∠APB， 即∠APO= ∠APB=30°， 又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°， ∴AP= =3 ．   方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D； ∵在△OAB中，OA=OB， ∴AD= AB； ∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，  ∴AD=OAcos30°= ，  ∴AP=AB= ．