已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x<0时,f

已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x<0时,f(x)>0.(Ⅰ)验证函数f(x)=ln... 已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x<0时,f(x)>0.(Ⅰ)验证函数f(x)=ln1?x1+x是否满足这些条件;(Ⅱ)判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性,并加以证明. 展开
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TD哥哥0148
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知道答主
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(Ⅰ)由
1?x
1+x
>0
可得-1<x<1,即其定义域为(-1,1)
f(x)+f(y)=ln
1?x
1+x
+ln
1?y
1+y
=ln(
1?x
1+x
?
1?y
1+y
)
=ln
1?x?y+xy
1+x+y+xy
=ln
1?
x+y
1+xy
1+
x+y
1+xy
=f(
x+y
1+xy
)

又当x<0时,1-x>1+x>0,∴
1?x
1+x
>1
ln
1?x
1+x
>0

f(x)=ln
1?x
1+x
满足这些条件.(3分)
(Ⅱ)∵f(0)+f(0)=f(0)?f(0)=0
∴f(-x)+f(x)=f(0)=0?f(-x)=-f(x)
∴f(x)在(-1,1)上是奇函数.
f(x)?f(y)=f(x)+f(?y)=f(
x?y
1?xy
)

当-1<x<y<1时,
x?y
1?xy
<0
,由条件知f(
x?y
1?xy
)>0

即f(x)-f(y)>0∴f(x)在(-1,1)上是减函数.
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