Question

求助一道高一的三角函数化简题

在三角形ABC中，已知角A为锐角，且f(A)=[{[cos(π-2A)-1]sin(π+A/2)sin(π/2-A/2)} / sin^2(π/2-A/2)-sin^2(π-A/2)]+cos^2(A)
(1)求f(A)的最大值
(2)若A+B=7π/12 , f(A)=1 ,BC=2 ,求三角形ABC的三个内角。

Answer 1

令f(A) = I / J + cos^2(A) ,
其中I = [{[cos(π-2A)-1]sin(π+A/2)sin(π/2-A/2)} ,
J = sin^2(π/2-A/2)-sin^2(π-A/2)].
分别化简两式：
由于cos(π-2A)-1 = -cos2A - 1 = -[cos2A + 1] = -2(cosA)^2 ,
sin(π+A/2)sin(π/2-A/2) = -sin(A/2)·cos(A/2) = -(sinA)/2
故 I = （sinA）·（cosA）^2 =
sin^2(π/2-A/2) = [cos(A/2)]^2 , sin^2(π-A/2) = sin^2(A/2)
所以sin^2(π/2-A/2)-sin^2(π-A/2)] = [cos(A/2)]^2 - [sin(A/2)]^2 = cosA,
所以f(A) = I / J + cos^2(A)
= 【sin(2A)】/2 + 【1 + cos(2A)】/2
= （1/2）【sin(2A) + cos(2A)】 + （1/2）
= （1/2）【√2·sin(2A + π/4）】 + （1/2）
因为0<A<π/2，所以2A+π/4 ∈ （π/4，5π/4），故sin(2A + π/4）在这个区间内的最大值为：1，最小值为：-√2/2 。
故f(A)的最大值 = （1 + √2）/2
（2）.
若要f(A)=1，需有sin(2A + π/4） = √2/2，结合0<A<π/2，求得A = π/4，
所以B = (A+B)-A = π/3，C = π - A - B = 5π/12
（附：再由BC = 2,以及正弦定理，求得AC = √6 , AB = √3 + 1)