已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为14的直线l，使得l
已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为14的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段...
已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为14的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|?|PB|=|PC|2．（1）求双曲线G的渐近线的方程；（2）求双曲线G的方程；（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．
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（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，
则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得
=
，
所以k=±
，即双曲线G的渐近线的方程为y=±
x．（3分）
（2）由（1）可设双曲线G的方程为x2-4y2=m，
把直线l的方程y=
（x+4）代入双曲线方程，
整理得3x2-8x-16-4m=0，
则xA+xB=
，xAxB=-
．（*）
∵|PA|?|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，即（xB+4）（-4-xA）=16，
整理得4（xA+xB）+xAxB+32=0．
将（*）代入上式得m=28，
∴双曲线的方程为
-
=1．（8分）
（3）由题可设椭圆S的方程为
+
=1（a＞2
），
设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x0，y0），
则
+
则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得
| |5k| | ||
|
| 5 |
所以k=±
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）由（1）可设双曲线G的方程为x2-4y2=m，
把直线l的方程y=
| 1 |
| 4 |
整理得3x2-8x-16-4m=0，
则xA+xB=
| 8 |
| 3 |
| 16+4m |
| 3 |
∵|PA|?|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，即（xB+4）（-4-xA）=16，
整理得4（xA+xB）+xAxB+32=0．
将（*）代入上式得m=28，
∴双曲线的方程为
| x2 |
| 28 |
| y2 |
| 7 |
（3）由题可设椭圆S的方程为
| x2 |
| 28 |
| y2 |
| a2 |
| 7 |
设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x0，y0），
则
| ||
| 28 |
y
|
