Question

已知函数f（x）=ax2+1bx+c（a，b∈N）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求函数解析式；（2）判断证

已知函数f（x）=ax2+1bx+c（a，b∈N）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求函数解析式；（2）判断证明f（x）在[1，+∞）上的单调性．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax²+

1

bx

+c是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即ax²-

1

bx

+c=-（ax²+

1

bx

+c），
∴a=c=0，
则f(x)＝

1

bx

由f（1）=2得，b=

1

2

，
∴f(x)＝

2

x

，
（2）f(x)＝

2

x

在[1，+∞）上是减函数．
证明：设1≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

x1

?

2

x2

=

2(x2?x1)

x1?x2

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，则

2(x2?x1)

x1?x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数．