Question

如图，点D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F．且BC=1．

如图，点D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F．且BC=1．（1）若AD是边BC上的中线，求AE的值；（2）若四边形AEDF是菱形，求CD的值．

Answer 1

（1）∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，
设AE=DE=x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=1，
∴CE=AC-AE=1-x，
∵AD是边BC上的中线，
∴CD=

1

2

BC=

1

2

，
在Rt△CDE中，CE²+CD²=DE²，
即（1-x）²+（

1

2

）²=x²，
解得x=

5

8

，
即AE=

5

8

；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=1，∠B=45°，
∵四边形AEDF是菱形，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠B=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，
设CD=x，则AE=1-x，
∵四边形AEDF是菱形，
∴DE=AE=1-x，
在Rt△CDE中，CE²+CD²=DE²，
即x²+x²=（1-x）²，
整理得，x²+2x-1=0，
解得x₁=

2

-1，x₂=-

2

-1（舍去），
∴CD的值是

2

-1．