Question

如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PD ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，∠ BAD ＝60°， O 为 AC 与 BD 的交点

如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PD ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，∠ BAD ＝60°， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为 PB 上任意一点． (1)证明：平面 EAC ⊥平面 PBD ；(2)若 PD ∥平面 EAC ，并且二面角 B-AE-C 的大小为45°，求 PD ∶ AD 的值．

Answer 1

（1）见解析（2） ∶2

(1)证明　因为 PD ⊥平面 ABCD ，∴ PD ⊥ AC ，又 ABCD 是菱形，∴ BD ⊥ AC ，又 BD ∩ PD ＝ D ，故 AC ⊥平面 PBD ，又 AC ?平面 EAC . 所以平面 EAC ⊥平面 PBD . (2)解　连接 OE ， 因为 PD ∥平面 EAC ，所以 PD ∥ OE ，所以 OE ⊥平面 ABCD ，又 O 是 BD 的中点，故此时 E 为 PB 的中点，以点 O 为坐标原点，射线 OA ， OB ， OE 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz . 设 OB ＝ m ， OE ＝ h ，则 OA ＝ m ， A ， B (0， m, 0)， E (0,0， h )， ＝(－ m ， m, 0)， ＝(0，－ m ， h )，向量 n 1 ＝(0,1,0)为平面 AEC 的一个法向量，设平面 ABE 的一个法向量 n 2 ＝( x ， y ， z ) 则 n 2 · ＝0，且 n 2 · ＝0， 即－ mx ＋ my ＝0且－ my ＋ hz ＝0. 取 x ＝1，则 y ＝ ， z ＝ ，则 n 2 ＝ ， ∴cos 45°＝|cos〈 n 1 ， n 2 〉|＝ ＝ ＝ ，解得 ＝https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/b3119313b07eca80ae9d95a8922397dda04483e1?x-bce-process=image/quality,q_85 ，故 PD ∶ AD ＝2 h ∶2 m ＝ h ∶ m ＝ ∶2.