Question

如图1，点A为抛物线C 1 ：y= x 2 ﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C 1 于另一点C（1）求点

如图1，点A为抛物线C 1 ：y= x 2 ﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C 1 于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C 1 于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C 1 于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C 1 向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C 2 ，且抛物线C 2 的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

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Answer 1

解：（1）当x=0时，y=﹣2；∵A（0，﹣2）． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则： ，解得 ∴直线AB解析式为y=2x﹣2． ∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y= x 2 ﹣2的交点， 则点C的横、纵坐标满足： ， 解得 、 （舍）∴点C的坐标为（4，6）． （2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C 1 于D．E两点． ∵y D =4，y E = ，∴DE= ． ∴FG=DE=4：3， ∴FG=2． ∴直线x=a分别交直线AB和抛物线C 1 于F、G两点． ∴y F =2a﹣2，y G = a 2 ﹣2×FG=|2a﹣ a 2 |=2， 解得：a 1 =2，a 2 =﹣2+2 ，a 3 =2﹣2 ． （3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H； 设点M的坐标为（t，0）， 抛物线C 2 的解析式为y= x 2 ﹣2﹣m； ∴0=﹣ t 2 ﹣2﹣m， ∴﹣2﹣m=﹣ t 2 ． ∴y= x 2 ﹣ t 2 ， ∴点P坐标为（0，﹣ t 2 ）． ∵点N是直线AB与抛物线y= x 2 ﹣ t 2 的交点， 则点N的横、纵坐标满足： ， 解得 、 （舍） ∴N（2﹣t，2﹣2t）．NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，∴MQ=NQ， ∴∠MNQ=45°． ∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形， ∴MO=OT，HT=HN×OT=4，NT=﹣ ，NH= （2﹣t），PT=﹣t+ t 2 ． ∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT， ∴﹣t+ t 2 = （2﹣t）， ∴t 1 =﹣2 ，t 2 =2（舍） ﹣2﹣m=﹣ t 2 =﹣ （﹣2 ） 2 ， ∴m=2．