Question

数学，F1F2是椭圆x²/2+Y²=1的左右焦点，A,B是椭圆上的两个动点，且线段AB的中点M在直线l

如图，F1F2是椭圆x²/2+Y²=1的左右焦点，A,B是椭圆上的两个动点，且线段AB的中点M在直线l：x=-1/2上，
（I）若B点坐标为（0,1），求点M的坐标
（2）求向量F1A*向量F2B的取值范围

说明：y轴左边的那条线是x=-1/2。
求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

过M且垂直于x轴的直线方程是x=-1/2.
(1)设M(-1/2，m),B(0,1),
∴A(-1，2m-1)在椭圆x^2/2+y^2=1上，
∴1/2+（2m-1)^2=1,(2m-1)^2=1/2,
2m-1=土√2/2，m=(2土√2)/4,
∴M(-1/2，(2土√2)/4).
(2)易知F1(-1，0),F2(1，0).设A(√2cosu,sinu),B(√2cosv,sinv),则
√2cosu+√2cosv=-1,
cosu+cosv=-1/√2，
向量F1A*F2B=（√2cosu+1,sinu)*(√2cosv-1,sinv)
=(√2cosu+1)(√2cosv-1)+sinusinv
=2cosucosv-√2cosu+√2cosv-1+sinusinv,繁！

设A(-1/2+h,m+k),B(-1/2-h,m-k),则
（-1/2+h)^2/2+(m+k)^2=1,①
（-1/2-h)^2/2+(m-k)^2=1,②
①-②，-h+4km=0,h=4km,
代入①，1/4-4km+16k^2m^2+2(m^2+2km+k^2)=2,
(16m^2+2)k^2=7/4-2m^2,
k^2=(7/4-2m^2)/(16m^2+2)=(7-8m^2)/(64m^2+8),
k=土√[(7-8m^2)/(64m^2+8)],
向量F1A*F2B=(1/2+h,m+k)*(-3/2-h,m-k)
=(1/2+h)(-3/2-h)+(m+k)(m-k)
=-3/4-2h-h^2+m^2-k^2
=-3/4-8km-16k^2m^2+m^2-k^2
=m^2-3/4干8m√[(7-8m^2)/(64m^2+8)]-(16m^2+1)(7-8m^2)/(64m^2+8)，繁！
请检查题目

追问

对不起，还真是我错了。正确的问题是
（2）求向量F2A*向量F2B的取值范围
请您再重新算一下吧。谢谢

追答

h=4km,
k^2=(7-8m^2)/(64m^2+8)>=0,m^2=2√(3/8)=√6/2，
当u=1/√24时取等号，u=1/8时w=11/8;u=1时w=25/8,
∴w的取值范围是[√6/2,25/8],为所求.

Answer 2

第一小问可以设M（-1/2，y），这样A（-1,2y-1），然后把A点坐标带到椭圆方程