Question

一道高数微分方程题，为何A不正确，x和x平方不也是线性无关吗？再加上一个特解1，为何它不正确呢？求

一道高数微分方程题，为何A不正确，x和x平方不也是线性无关吗？再加上一个特解1，为何它不正确呢？求详细解答

Answer 1

大哥，，说了是非齐次啊，也就是说方程的等号右边不是0啊。。。三个解的意思就是说：
对于f（a）=b，一直有三个a可以成立，一个a叫x，一个a叫x^2,一个a叫1；
f(x)=b

f(x^2)=b
f(1)=b
因为是非齐次，所以不是说f（a）=0，f（b）=0，所以a+b=c，那么f（c）=0；而是说，f（a）=1，f（b）=1，那么a+b=c，因为线性，f（c）=f（a+b）=f（a）+f（b）=2，c就不是f（x）=1的解了啊！！！！（变量各种混乱，，凑合看吧。。）

就这题而言，照A那样，，f（C2*x+C1*x^2+1）=（C1+C2+1）b，，，不等于b，那么当然就不是通解了。。。
而D选项，，f（C2*x+C1*x^2+(1-C1-C2)）这里头x、x^2和1是等价的，都会导向一个b，而(1-C1-C2)=(1-C1-C2)*1，都是1的倍数，跟C1、C2是x^2、x的倍数是一个地位，
所以，最终的结果就是C2*b（x对应的b）+C1*b（x^2对应的b）+(1-C1-C2)*b（1对应的b）=b=f（a）（最开始的那个非齐次方程），
所以，C2*x+C1*x^2+1是f（a）=b的解，因为线性和C1，C2不确定性，所以是通解。。。。

Answer 2

你的理解前半部分是对的，后半部分有问题。首先，你得知道怎么求非齐次微分方程的通解(省略线性二字)。非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，特解三个随便选一个，但通解是对应“齐次方程”的通解，而1，x，x^2是非齐次方程的特解。那如何求齐次通解呢？根据线性微分方程的性质，取俩线性无关的特解相减，再乘一常数即可。所以选项D化简成C1(x^2-1)+C2(x-1)+1就好理解了。当然，通解答案不唯一。。。