Question

设函数f(x)=½x平方＋lnx-mx（m＞0） 1，求f(x)的单调区间 2.求f(x)的零点个

设函数f(x)=½x平方＋lnx-mx（m＞0）
1，求f(x)的单调区间
2.求f(x)的零点个数

Answer 1

解：
第一问：求单调区间
f(x)=(1/2)x²+lnx-mx
定义域：(0，+∞)
f'(x)
=[(1/2)x²+lnx-mx]'
=x+1/x-m
=(x²-mx+1)/x
由于x>0，所以只关注x²-mx+1的正负性
Δ=m²-4
(1)当0<m≤2时， x²-mx+1≥0
∴ f'(x)≥0，f(x)单调递增
（2)当m>2时，
x>m/2+√(m²/4-1)或x<m/2-√(m²/4-1)时，x²-mx+1>0
∴ f'(x)≥0，f(x)单调递增
m/2-√(1-m²/4)<x<m/2-√(1-m²/4)时， x²-mx+1<0
∴ f'(x)<0，f(x)单调递减
第二问：求零点个数
(1/2)x²+lnx-mx=0
lnx/x=m-(1/2)x
令y1=lnx/x，y2=m-(1/2)x
在同一xoy坐标系下分别作出y1和y2的图像，见附图。
由图像可以看出，y1和y2仅有一交点
∴ (1/2)x²+lnx-mx=0仅有一实根
∴ f(x)=(1/2)x²+lnx-mx只有一个零点

追答