Question

已知函数f(x)=xlnx+ax^2-1,且f'(1)=-1 (1)求f(x)的解析式; (2)若对于任意x∈(0,+∞),

都有f(x)-mx≦-1,求m的最小值;
(3)证明:函数y=f(x)-xe^x+x^2的图像在直线y=-2x-1的下方。

Answer 1

1 a=-1
2 xlnx-x^2-mx《0
因为x〉0即lnx-x-m《0
即m》lnx-x（m大于右边式子最大值）
令y=lnx-x
求导y·=1/x-1
函数在（0,1）增，（1，无穷）减，
x=1 ，y有最大值-1
m》-1
3由题可知求证f（x）-xe^x+x^2+2x+1〈0衡成立（其中x是大于0的）
化简式子
lnx-e^x+2〈0
令y=lnx-e^x+2求导
y·=1/x-e^x（显然x越大，y·越小）
令1/x=e^x,此时求出的解记为x1

则（0,x1)增。（x1到无穷）减
取x1，则y=lnx-e^x+2有最大值=lnx1-e^x1+2
即证明lnx1-e^x1+2〈0
已知1/x=e^x1（这里我们换掉e^x,）
即证明lnx1-1/x1+2〈0显然这是增函数
思路，令x=1/2，则变为证明ln1/2〈0显然成立
那么要是x1〈1/2，那么必然lnx1-1/x1+2〈0成立
比较x1与1/2的关系，结合前面的函数单调性之类的
可得x1〈1/2

Answer 2

解第一问f'(x)=x'lnx+x(lnx)'+2ax=lnx+2ax+1
由f'(1)=-1
知f'(1)=+2a+1=-1
则a=-1
则f(x)=xlnx-x^2-1