Question

可逆矩阵A总可以表示若干初等矩阵的乘积，应该怎么证明，求具体过程～

Answer 1

i=p1...psaq1...qt两端同时左乘ps^-1...p1^-1同时又乘qt^-1...q1^-1得

ps^-1...p1^-1iqt^-1...q1^-1=ps^-1...p1^-1p1...psaq1...qtqt^-1...q1^-1=a

注意逆矩阵与矩阵的乘积为单位矩阵

例如：

n阶矩阵A可逆

当且仅当A与单位矩阵等价；

当且仅当单位矩阵E可以经过若干次行初等变换化为矩阵A；

当且仅当存在若干个初等矩阵E1,E2,...Et,使得Et...E2E1=A

即A是t个初等矩阵的乘积。

扩展资料：

（1）逆矩阵的唯一性

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1 

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m 

对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵 

推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积 

参考资料来源：百度百科-逆矩阵

Answer 2

这个可以这样推导，大概说一下 因为可逆 所以行列式不等于0，矩阵第一列必不全为0，然后将改不为0的数变成1，并移到第一行，经过乘以倍数然后加加减减可以将该列第二行到最后一行变为0，然后第二列第一个若为1，则第二列第二行到第二列最后一行必不全为0（因为行列式不等0），同理可以从第二列第三行到第二列最后一行全部变为0，其余同理 先变成上三角，然后最后一行最后一列向上变成单位矩阵，因为都是经过的初等行变换 所以相当于P1P2P3...A=E，所以A等于左边初等整体求逆，初等矩阵逆还是初等，所以可逆初等矩阵总可以表示成若干初等矩阵乘积，且进一步推广可以得到求逆矩阵的一个方法（A|E）---（E|A^-1）且变换过程只能行变化 大概就这样 希望能帮到你

Answer 3

A可以由单位阵经过有限次初等变换来得到,
行变换相当于左边乘以初等矩阵,
列变换相当于右乘一个初等矩阵,
这样一个可逆矩阵就可以由一系列初等矩阵乘积来表示.